（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的邊長為2a，側(cè)棱AA1=2a，M、N分別為AA1、BC中點(diǎn)
（1）求證：MN⊥B1C1；
（2）求二面角B1-MN-C1的余弦值．
分析：（1）先證明MN在平面ABC上的射影為AN，再證明AN與BC垂直，從而由三垂線定理可證明MN與BC垂直，最后因?yàn)锽C∥B1C1知MN⊥B1C1，也可用計(jì)算的方法，連接BM、MC，由勾股定理易得BM=CM，從而MN⊥BC，即可證MN⊥B1C
（2）先作出二面角的平面角，即取MN中點(diǎn)Q，可證明∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角，再在三角形B1C1Q中計(jì)算∠B1QC1的余弦值即可
解答：解：（1）法一：連接AN．
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC，且AB=AC
∴AN為MN在面ABC上的射影
又N為BC的中點(diǎn)，且AB=AC
∴AN⊥BC
由三垂線定理知MN⊥BC
又BC∥B1C1知MN⊥B1C1
法二：連接BM、MC，
由勾股定理易得BM=CM，從而MN⊥BC，即可證MN⊥B1C1 
（2）取MN的中點(diǎn)Q，連接C1Q、B1Q
∵B1M=B1N，C1M=C1Q
∴B1Q⊥MN，C1Q⊥MN
∴∠B1QC1是二面角B1-MN-C1的平面角
又MN=
AM2+AN2
=
a2+(2a)2-a2
=2a
則B1Q=
B1N2-MQ2
=
5a2-a2
=2a=C1Q
∴△B1C1Q為正三角形，
∴∠B1QC1=60°
故二面角B1-MN-C1的余弦值為
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了證明線線垂直的方法，求二面角大小的方法，解題時(shí)要注意積累證明線線垂直的常用思路和找二面角平面角的各種手段，提高解題能力
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．

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