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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,的中點,,,.

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析,(Ⅱ)

【解析】

)連結于點,連結,可知,根據線面平行的判定定理,證明即可.

)法一: ,可知,即,根據平面,可知平面,即,,以為原點,,所在直線分別為, 軸,建立空間直角坐標系,求各點坐標,計算平面的法向量為,平面的法向量為,根據,求解即可. 法二:延長交于,連接,過,過,連接,則平面,,又,所以平面,為平面與平面所成銳二面角的平面角. ,,,計算

,,利用,求解,即可.

)證明:連結于點,連結.

中點,中位線.

所以.

平面平面.

所以平面.

)法一:因為,的中點,所以.

又因為,所以,則

,所以.

又因為平面,所以建立如圖所示空間直角坐標系,則,,.

平面的法向量為.

設平面的法向量為,則由,得

,則,.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

法二:延長、交于,連接,過,

,連接

平面,,又,所以平面

為平面與平面所成銳二面角的平面角.

中,,所以高為中線,,

,∴,∴

中,

,∴

中,,

所以平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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男性運動員

女性運動員

對主辦方表示滿意

200

220

對主辦方表示不滿意

50

30

0.100

0.050

0.010

0.001

k

2.706

3.841

6.635

10.828

A.0B.1C.2D.3

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