Question

已知二次函數(shù)f（x）=4x²-kx+12．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[5，+∞）是增函數(shù)，求常數(shù)k的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜4x的解為1＜x＜3，求常數(shù)k的值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[5，20]上的最大值為12，求常數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)f（x）的圖象是拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)是增函數(shù)，由此可得k的取值范圍；
（2）由f（x）＜4x得，可得一元二次不等式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求得k的值；
（3）由于函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是變化的，要討論對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[5，20]上，還是在區(qū)間[5，20]外，根據(jù)函數(shù)f（x）的增減性寫(xiě)出最大值，從而求出k的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=4x²-kx+12的圖象是拋物線(xiàn)，且開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=

k

8

的右側(cè)是增函數(shù)，故令

k

8

≤5，解得k≤40，∴k的取值范圍是{k|k≤40}；
（2）由f（x）＜4x得，4x²-kx+12＜4x，整理，得4x²-（k+4）x+12＜0，∵該一元二次不等式的解為1＜x＜3，∴

k+4

4

=1+3，∴k=12；
（3）∵二次函數(shù)f（x）=4x²-kx+12的對(duì)稱(chēng)軸是x=

k

8

，令

k

8

≤5，得k≤40；即當(dāng)k≤40時(shí)，f（x）在[5，20]上是增函數(shù)，在x=20處取得最大值f（20）=12，此時(shí)k=80，不適合，舍去；
令

k

8

≥20，得k≥160；即當(dāng)k≥160時(shí)，f（x）在[5，20]上是減函數(shù)，且在x=5處取得最大值f（5）=12，此時(shí)k=20，不適合，舍去；
令5≤

k

8

≤20，得40≤k≤160，此時(shí)f（x）在[5，20]上的最大值是f（20）=12，或f（5）=12，解得k=80，或k=20（舍去）；
綜上，得k=80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的綜合問(wèn)題，以及二次函數(shù)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸變化時(shí)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是高考中的熱點(diǎn)．