Question

形狀如圖所示的三個游戲盤中(圖①是正方形，M，N分別是所在邊中點，圖②是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心，圖③是正六邊形，點P為其中心)各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．

(1)一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
(2)用隨機變量X表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列．

Answer 1

（1）（2）X的分布列為

X	1	3
P

 

(1)“一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分”分別記為事件A₁，A₂，A₃.
由題意知，A₁，A₂，A₃互相獨立，且P(A₁)＝，P(A₂)＝，P(A₃)＝，所以“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為P(A₁A₂A₃)＝P(A₁)P(A₂)·P(A₃)＝××＝.
(2)一局游戲后，這三個盤中的小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0,1,2,3，相應的小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3,2,1,0，所以X可能的取值為1,3.
由分析可得P(X＝3)＝P(A₁A₂A₃)＋P(₁₂₃)＝P(A₁)·P(A₂)P(A₃)＋P(₁)P(₂)P(₃)＝××＋××＝；P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列為

X	1	3
P