Question

（2007•楊浦區(qū)二模）設(shè)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程是

y²=2（x-1）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂，進(jìn)而求得焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，消去參數(shù)k，則焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程可得．

解答：解：由題知拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中點(diǎn)M橫坐標(biāo)：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直線方程，中點(diǎn)M縱坐標(biāo)：
y=k（x-1）=

2

k

．即中點(diǎn)M為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數(shù)k，得其方程為：y²=2x-2，
當(dāng)線段PQ的斜率存在時(shí)，線段PQ中點(diǎn)為焦點(diǎn)F（1，0），滿足此式，
故答案為：y²=2（x-1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．