過點()引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△ABO的面積取得最大值時,直線l的斜率等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分(含與x軸的交點),由此可得到過C點的直線與曲線相交時k的范圍,設出直線方程,由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離,由勾股定理求出直線被圓所截半弦長,寫出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.
解答:解:由y=,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲線y=表示單位圓在x軸上方的部分(含與x軸的交點),
設直線l的斜率為k,要保證直線l與曲線有兩個交點,且直線不與x軸重合,
則-1<k<0,直線l的方程為y-0=,即
則原點O到l的距離d=,l被半圓截得的半弦長為
=
==
,則,當,即時,S△ABO有最大值為
此時由,解得k=-
故答案為B.
點評:本題考查了直線的斜率,考查了直線與圓的關系,考查了學生的運算能力,考查了配方法及二次函數(shù)求最值,解答此題的關鍵在于把面積表達式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點,且兩條漸近線與以點A (0,)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個焦點與A關于y = x對稱.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若Q是雙曲線線C上的任一點,F1,F2為雙曲線C的左、右兩個焦點,從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點N的軌跡方程;

    (3)設直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點,另一直線l經(jīng)過M (–2,0)及AB的中點,求直線ly軸上的截距b的取值范圍.

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