Question

已知平面向量，，，其中0＜φ＜π，且函數(shù)的圖象過點．
（1）求φ的值；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個單位，然后將得到函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用兩個向量的數(shù)量積公式求出和的值，進而求得f（x）=cos（2x-φ），再把點代入函數(shù)的解析式可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-），根據(jù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=cos（x-），再由x∈[0，]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)g（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）由題意可得=（cosφ，sinφ）•（cosx，sinx）=cosφcosx+sinφsinx=cos（φ-x），
=（cosx，sinx）•（sinφ-cosφ）=sinφcosx-cosφsinx=sin（φ-x），
∴函數(shù)=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ）．
把點代入可得 cos（-φ）=1．
而 0＜φ＜π，∴φ=．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-），圖象向左平移個單位，
可得函數(shù)y=cos[2（x+）-]=cos（2x-）的圖象；然后將得到函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
縱坐標不變，得到函數(shù)y=cos（x-）的圖象，
故函數(shù) y=g（x）=cos（x-）．
由x∈[0，]，可得 x-∈[-，]，
故當x-=0時，函數(shù)g（x）=cos（x-） 取得最大值為1，
x-=時，函數(shù)g（x）=cos（x-） 取得最小值為 ．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換，余弦函數(shù)的、定義域和值域，屬于中檔題．