Question

已知對(duì)任意平面向量

AB

=(x，y)，將

AB

繞其起點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量

AP

=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做將點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．
（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B(1+

2

，2-2

2

)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)平面內(nèi)曲線3x²+3y²+2xy=4上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

得到的點(diǎn)的軌跡是曲線C，求曲線C的方程；
（3）過（2）中曲線C的焦點(diǎn)的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，當(dāng)

OA

•

OB

=0時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）利用題中的新定義，可先計(jì)算

AB

，

AP

，已知A（1，2），利用向量的減法求P
（2）結(jié)合題中的條件，利用“相關(guān)點(diǎn)法”求曲線C的方程
（3）設(shè)出過焦點(diǎn)的直線方程：y=kx+1，聯(lián)立直線

y=kx+1 x2+ y2 2 =1

整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，設(shè)A （x₁，y₁）  B（x₂，y₂）
由

OA

•

OB

=0⇒x₁•x₂+y₁•y₂=0代入可求k值

解答：解：（1）由已知可得

AB

=(

2

，-2

2

)，
將點(diǎn)B（(1+

2

，2-2

2

)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

π

4

，
得

AP

=(

2

cos 

π

4

-2

2

sin

π

4

， -

2

sin

π

4

- 2

2

cos

π

4

)=（-1，-3）
∴P（0，-1 ）
（2）設(shè)M（x，y）是已知曲線上的任意一點(diǎn)，
繞原點(diǎn)O沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

π

4

得到的點(diǎn)M₁（x₁，y₁）在所求的曲線C上
由題意得

x1= 2 2 x+ 2 2 y y1=- 2 x 2 + 2 y 2

⇒

x= 2 2 (x1-y1)  y= 2 2 (x1+y1)

代入已知曲線整理可得，x12+

y12

2

= 1，為曲線C的方程

（3）由（2）知曲線C的焦點(diǎn)（0，1）（0，-1），由題意可知直線l的斜率k存在
當(dāng)直線過E（0，1）時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：y=kx+1
聯(lián)立

y=kx+1 x2+ y2 2 =1

⇒（2+k²）x²+2kx-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

-2k

2+k2

  x1•x2= 

-1

2+k2

∴y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-2k2+2

2+k2

∵

OA

⊥

OB

  
∴

OA

• 

OB

=x1x2+y1y2 =0
∴

2-2k2

2+k2

+

-1

2+k2

=0∴k=±

2

2

∵|x1-x2|  =

(x1+x2)2-4x 1• x2

=

4 3

5

S△ABC=

1

2

|x1-x2| • OE=

1

2

× 

4 3

5

×1=

2 3

5

當(dāng)過點(diǎn)（0，-1）同理可得S△ABC=

2 3

5

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為切入點(diǎn)，融合了向量的加減法的幾何意義及向量垂直的條件，利用“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程，及直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，是一道綜合性較好的題目．