Question

如圖，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF∥CG；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABF的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M是DG的中點(diǎn)，由AC∥DG，且AC=

1

2

DG，得AC∥MG，AC=MG，四邊形AMGC為平行四邊形，得AM∥CG，同理可證四邊形ABFM為平行四邊形，得BF∥AM，AM∥CG，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）由V_E-ABF=V_A-BEF可求得三棱錐E-ABF的高為

2 5

5

．

解答：（1）證明：取DG的中點(diǎn)M，連接AM、FM
∵EF∥DG，EF=

1

2

DG
∴EF∥DM，EF=DM
∴四邊形EFMD為平行四邊形
∴FM∥ED，F(xiàn)M=ED
∵四邊形ABED為正方形
∴AB∥FM，AB=FM
∴四邊形ABFM為平行四邊形
∴AM∥BF
∵四邊形ACGM為平行四邊形
∴AM∥CG
∴BF∥CG
（2）設(shè)三棱錐E-ABF的高為h
∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直，平面ABED∩平面ACGD=AD
AB⊥AD，GD⊥AD
∴AB⊥平面ACGD，GD⊥平面ABED
∴AB⊥AC，GD⊥平面ACED
∵EF∥AC
∴AB⊥EF，EF⊥平面ABED
∵AB⊥BE，BE?平面BEF，EF?平面BEF，EF∩BE=E
∴AB⊥平面BEF，△ABF為直角三角形
BF=

EB2+EF2

=

22+12

=

5

由V_E-ABF=V_A-BEF得

1

3

×S△ABF×h=

1

3

×S△BEF×AB
∴

1

3

×(

1

2

×AB×BF)×h=

1

3

×(

1

2

×BE×EF)×AB
∴

1

3

×(

1

2

×2×

5

)×h=

1

3

×(

1

2

×2×1)×2
∴h=

2 5

5

．
故三棱錐E-ABF的高

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用公理4證明空間兩條直線平行、棱錐高的計(jì)算．對(duì)于三棱錐高棱錐高的計(jì)算常常是利用等體積法．