Question

已知向量

a

=（m，cos2x），

b

=（sin2x，n），設函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且y=f（x）的圖象過點f（

2π

3

）=msin

4π

3

+ncos

4π

3

=-2和點（

2π

3

，-2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）的圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算求得f（x）=msin2x+ncos2x，進一步根據(jù)圖象經過的點求得：m和n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，f（x）向左平移φ個單位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+

π

6

）設g（x）的對稱軸x=x₀，最高點的坐標為：（x₀，2）點（0，3）的距離的最小值為1，則：g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，進一步求得單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=(m，cos2x)，

b

=(sin2x，n)，
則：f(x)=

a

•

b

=msin2x+ncos2x，
y=f（x）的圖象過點f（

2π

3

）=msin

4π

3

+ncos

4π

3

=-2和點（

2π

3

，-2）．
則：

1 2 m+ 3 2 n= 3 - 3 2 m- 1 2 n=-2

解得：

m= 3 n=1

，
即：m=

3

，n=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，f（x）向左平移φ個單位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+

π

6

），
設g（x）的對稱軸x=x₀，最高點的坐標為：（x₀，2）點（0，3）的距離的最小值為1，則：

1+x02

=1，解得：x0=0，
則：g（0）=2，
解得：Φ=

π

6

，
所以：g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x．
令：-π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）
則：單調遞增區(qū)間為：[-

π

2

+kπ，kπ]（k∈Z）
故答案為：（Ⅰ）m=

3

，n=1
（Ⅱ）單調遞增區(qū)間為：[-

π

2

+kπ，kπ]（k∈Z）

點評：本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積的坐標運算，三角恒等變換，圖象的平移變換，三角函數(shù)的單調性及相關的運算問題．