Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB中點，CD=2，AB=4，AD=BC=．沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如圖．
（Ⅰ）若G為FB的中點，求證：AG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求二面角C-AB-F的正切值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為AF=BF，∠AFB=60°，△AFB為等邊三角形．
又G為FB的中點，所以AG⊥FB．（2分）
在等腰梯形ABCD中，因為E、F分別是CD、AB的中點，
所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，
所以AG⊥EF．（4分）
又EF與FB交于一點F，所以AG⊥平面BCEF．（5分）

（Ⅱ）解法一：連接CG，因為在等腰梯形ABCD中，
CD=2，AB=4，E、F分別是CD、AB中點，
所以EC=FG=BG=1，從而CG∥EF．
因為EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF．（7分）
過點G作GH⊥AB于H，連接CH，據(jù)三垂線定理有CH⊥AB，
所以∠CHG為二面角C-AB-F的平面角．（9分）
因為Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=．（10分）
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=，所以CG=1．（11分）
在Rt△CGH中，tan∠CHG==，故二面角C-AB-F的正切值為．（12分）
解法二：如圖所示建立空間直角坐標系，由已知可得，
點B（2，0，0），A（1，0，），C（1，1，0）．（7分）
因為EF⊥平面ABF，所以=（0，1，0）為
平面ABF的一個法向量．（8分）
設(shè)=（x，y，z）為平面ABCD的法向量，
因為，，
由，，得，即．
令，則，z=1，所以=（，，1）．（10分）
所以cos＜，＞==．（11分）
從而tan＜，＞=，故二面角C-AB-F的正切值為．（12分）
分析：（I）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G為FB的中點，可得AG⊥FB①再由E、F分別是CD、AB的中點，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，進而可得AG⊥EF②，結(jié)合①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證AG⊥平面BCEF
（II）（法一：三垂線法）利用梯形的知識可得CG∥EF，由已知易證EF⊥面ABF，從而可得CG⊥面ABF，考慮利用三垂線法，過點G作GH⊥AB于H，連接CH，據(jù)三垂線定理可得∠CHG為二面角C-AB-F的平面角．在Rt△BHG中求解∠CHG
（法二：空間向量法）結(jié)合題中的條件，可考慮分別以FB、FE為x、y、軸，以過F且垂直于面FBCE的直線為Z軸，建立空間直角坐標系，借助于坐標系找出平面ABCD的一個法向量，平面ABF的一個法向量，代入公式可求
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系：線面垂直的判定的運用、二面角的度量：二面角的平面角的作法①三垂線法，②利用空間向量轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角，要求考生具備一定的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．