Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（Ⅰ）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f(x)=a^x∈M；

（Ⅲ）若函數(shù)f(x)=sinkx∈M ,求實(shí)數(shù)k的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)= 

（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，

所以方程組：有解，消去y得a^x=x,

顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使a^T=T.

于是對于f(x)=a^x有 

故f(x)=a^x∈M.  

（Ⅲ）實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k= mπ, m∈Z}  

【解析】（Ⅰ）把函數(shù)f(x)= x代入f(x+T)=T f(x)不恒成立，所以 函數(shù)f(x)= x 不屬于集合M；（Ⅱ）由函數(shù) 且的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，可得，存在非零常數(shù)T，使.把函數(shù)代入f(x+T)=T f(x)，結(jié)合，可得函數(shù)屬于集合M；（Ⅲ）先討論實(shí)數(shù)是否為0，時(shí)顯然成立；時(shí)，把函數(shù)代入整理得恒成立，所以.根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得實(shí)數(shù)的值.