Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）確定a與b的關系；
（2）若a≥0，試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）設斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）
證明：．

Answer 1

解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，則，
由函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1．
（2）由（1）得=．
∵函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），∴當a=0時，，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當a＞0時，令g'（x）=0得x=1或，
若，即時，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，
即函數(shù)g（x）在，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若，即時，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，
即函數(shù)g（x）在（0，1），上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若，即時，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上得：當a=0時，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）證法一：依題意得，
證，即證，因x₂-x₁＞0，即證，
令（t＞1），即證（t＞1），
令（t＞1），則＞0，∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②
綜合①②得（t＞1），即．
證法二：依題意得，
令h（x）=lnx-kx，則，
由h'（x）=0得，當時，h'（x）＜0，當時，h'（x）＞0，
∴h（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又h（x₁）=h（x₂），
∴，即．
證法三：令，則，
當x＞x₁時，h'（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在（x₁，+∞）單調(diào)遞減，
∴當x₂＞x₁時，，即；
同理，令，可證得．
證法四：依題意得，

令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，則，當x＞x₁時，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在（x₁，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x₂＞x₁時，h（x₂）＞h（x₁）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁
令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，則，當x＜x₂時，m'（x）＜0，∴函數(shù)m（x）在（0，x₂）單調(diào)遞減，
∴當x₁＜x₂時，m（x₁）＞h（x₂）=0，即x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁；
所以命題得證．
分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）通過求導得到g^′（x），通過對a分類討論即可得出其單調(diào)性；
（3）證法一：利用斜率計算公式，令（t＞1），即證（t＞1），令（t＞1），通過求導利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
證法二：利用斜率計算公式，令h（x）=lnx-kx，通過求導，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出；
證法三：：令，同理，令，通過求導即可證明；
證法四：利用斜率計算公式，令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，及令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，通過求導得到其單調(diào)性即可證明．
點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、根據(jù)所證明的結論恰當?shù)臉嬙旌瘮?shù)、一題多解等是解題的關鍵．