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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點P是單位圓上的動點,過點P作x軸的垂線與射線y=x(x≥0)交于點Q,與x軸交于點M.記∠MOP=α,且α∈(﹣, ).

(Ⅰ)若sinα=,求cos∠POQ;

(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由角的正弦值可得其余弦值,再用角表示,可由兩角差的余弦公式可得角的余值;(Ⅱ)由三角函數的定義可得點的坐標,再利用的正余弦值表示三角形的面積,利用三角函數的性質可得其最值,即為三角形面積的最大值.

試題解析:(Ⅰ)因為,且所以

所以.

(Ⅱ)由三角函數定義,得P(cosα,sinα),從而

所以

因為所以當時,取等號,

所以△OPQ面積的最大值為

練習冊系列答案
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中,以為極點,軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為,曲線的參數方程為

1寫出直線及曲線的直角坐標方程;

2過點平行于直線的直線與曲線交于、兩點,若,求點軌跡的直角坐標方程.

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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(),一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費,為了了解居民用水情況,通過抽祥,獲得了某年位居民毎人的月均用水量(單位:噸),將數據按照分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中的值;

(2)若該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數,并說明理由;

(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準(),估計的值(精確到),并說明理由.

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【題目】已知拋物線的焦點為,拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與該點到拋物線準線的距離相等。

(1)求拋物線的方程;

(2)設直線與拋物線交于兩點,若,求實數的值。

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【題目】三國魏人劉徽,自撰《海島算經》,專論測高望遠.其中有一題今有望海島,立兩表齊,高三丈,前後相去千步,令後表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從後表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問島高及去表各幾何?翻譯如下:要測量海島上一座山峰的高度,立兩根高三丈的標桿,前后兩竿相距,使后標桿桿腳與前標桿桿腳與山峰腳在同一直線上,從前標桿桿腳退行步到,人眼著地觀測到島峰,、、、三點共線,從后標桿桿腳退行步到,人眼著地觀測到島峰,、三點也共線,山峰的高度__________步.(古制尺,步)

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【題目】如圖,ABCD是塊矩形硬紙板,其中AB=2ADAD=,E為DC的中點,將它沿AE折成直二面角D-AE-B

1求證:AD平面BDE;

2求二面角B-AD-E的余弦值

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【題目】已知函數

1)求函數的單調區(qū)間;

2)若方程有兩個相異實根,,且,證明:.

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【題目】如圖,兩條公路AP與AQ夾角A為鈍角,其正弦值是 .甲乙兩人從A點出發(fā)沿著兩條公路進行搜救工作,甲沿著公路AP方向,乙沿著公路AQ方向.

(1)當甲前進5km的時候到達P處,同時乙到達Q處,通訊測得甲乙兩人相距 km,求乙在此時前進的距離AQ;

(2)甲在5公里處原地未動,乙回頭往A方向行走至M點收到甲發(fā)出的信號,此時M點看P、Q兩點的張角為(張角為QMP),求甲乙兩人相距的距離MP的長.

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【題目】某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數,作了初步處理,得到下表:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

溫差

10

11

13

12

9

發(fā)芽率(顆)

23

25

30

26

16

(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發(fā)芽的種子數分別為,求事件“均小于26”的概率;

(2)請根據3月1日至3月5日的數據,求出關于的線性回歸方程,并預報3月份晝夜溫差為14度時實驗室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽(取整數值).

附:回歸方程中的斜率和截距最小二乘法估計公式分別為:,

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