Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax（x＞0），g（x）=3alnx+$\frac{5}{2}$a，其中a＞0．
（1）當a=1時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在常數(shù)a，使兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同？若存在，請求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）a=1時，求出h（x），然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，從而得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）可假設(shè)存在公共點（x₀，y₀），該點在f（x），g（x）的圖象上，且在該點處的切線相同，從而可出f（x），g（x）在該點的導(dǎo)數(shù)值相等，這樣便可得出關(guān)于x₀的方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3a}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，可整理得到x₀-1=2lnx₀，從而得出x₀=1，帶入前面的式子又可以求出a，這樣便得出存在常數(shù)a，使兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．

解答 解：（1）a=1時，h（x）=$f（x）-g（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x-3lnx+\frac{5}{2}$，$h′（x）=x+2-\frac{3}{x}=\frac{{x}^{2}+2x-3}{x}$；
解x²+2x-3=0得，x=-3，或1；
∴x∈（0，1）時，h′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0；
∴h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為[1，+∞）；
（2）假設(shè)存在，設(shè)公共點為（x₀，y₀），則：
${y}_{0}=\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a$；
∴f′（x）=x+2a，∴k=x₀+2a；
$g′（x）=\frac{3a}{x}$，∴$k=\frac{3a}{{x}_{0}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3aln{x}_{0}+\frac{5}{2}a}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3a}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+4a{x}_{0}=6aln{x}_{0}+5a}&{①}\\{{{x}_{0}}^{2}=3a-2a{x}_{0}}&{②}\end{array}\right.$；
將②代入①：3a+2ax₀=6alnx₀+5a；
∴x₀-1=3lnx₀；
x₀=1，帶入②得，a=1；
∴存在常數(shù)a，使兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，且a=1．

點評 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間的方法，二次函數(shù)的符號和對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，以及函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系．