Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角θ以x軸的正半軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定義：sicosθ=

y0-x0

r

，稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”對(duì)于正余弦函數(shù)y=sicosx，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：
①該函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

，

2

]；
②該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱；
④該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k-

π

4

，2k+

3π

4

]，k∈Z，
則這些性質(zhì)中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：首先根據(jù)題意，求出y=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可．

解答： 解：①根據(jù)三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=

y0-x0

r

=

rsinx-rcosx

r

=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
因?yàn)?span id="6orpnyh" class="MathJye">-1≤sin(x-

π

4

)≤1，
所以-

2

≤

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，
即該函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

，

2

]；
②因?yàn)閒（0）=

2

sin（-

π

4

）=-1≠0，
所以該函數(shù)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，
f（

3π

4

）=

2

sin

π

2

=

2

，
所以該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱；
④因?yàn)閥=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
所以由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k-

π

4

，2k+

3π

4

]，k∈Z．
綜上，可得這些性質(zhì)中正確的有3個(gè)：①③④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是首先求出函數(shù)y=sicosθ的表達(dá)式．