Question

若AB=2，AC=

2

BC，則S_△ABC的最大值

 

．

Answer 1

分析：設(shè)BC=x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據(jù)余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而得到關(guān)于x的三角形面積表達(dá)式，再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，根據(jù)x的范圍求出被開方數(shù)中完全平方式為0時的x的值，把求出x的值代入即可得到三角形面積的最大值．

解答：解：設(shè)BC=x，則AC=

2

x，
根據(jù)面積公式得S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

×2x×

1-cos2B

，
又根據(jù)余弦定理得cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

4+x2-( 2 x)2

4x

=

4-x2

4x

，
代入上式得：
S_△ABC=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

，
由三角形三邊關(guān)系有：

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，
解得：2

2

-2＜x＜2

2

+2．
所以當(dāng)x=2

3

時，x²-12=0，此時S_△ABC取得最大值

128 16

=

8

=2

2

．
故答案為：2

2

點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用，當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，本題的思路為：利用三角形的任兩邊之和大于第三邊列出不等式，求出x的范圍，進(jìn)而根據(jù)x的范圍求出完全平方式的最小值即為三角形面積的最大值．