Question

（1）一雙曲線以橢圓16x²+25y²=400的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，求雙曲線的方程．
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)A到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6，求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓16x²+25y²=400的標(biāo)準(zhǔn)形式為
∴橢圓的左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）和（-5，0）
∵橢圓的半焦距c==3，
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-3，0）
∵雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓和左右頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)
∴雙曲線的b²=25-9=16，可得雙曲線的方程是：-=1；
（2）∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為6，
∴設(shè)A（x₀，y₀），y₀²=2px₀且|y₀|=6，可得2px₀=36…（*）
∵點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為10，
∴x₀+=10，與（*）聯(lián)解，可得或
由此可得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，拋物線的方程是y²=4x；或A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，拋物線的方程是y²=36x．
分析：（1）根據(jù)橢圓的基本概念，不難得到雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平方關(guān)系算出b的平方，即可得到所求雙曲線的方程．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），由拋物線上點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為6，得|y₀|=6．由此結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，建立x₀和p的方程組，解之即可得到A點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題第1問考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)的知識(shí)；第2問考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)，兩題都屬于基礎(chǔ)題．