Question

已知f（x）=log_ax-x+1，（a＞0，且a≠1），如f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，則a的取值集合為

 

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：若f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，即log_ax≤x-1對x∈（0，+∞）恒成立，即函數y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，分0＜a＜1時和a＞1時，討論滿足條件的a值，綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=log_ax-x+1，
若f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，
即log_ax≤x-1對x∈（0，+∞）恒成立，
即函數y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，
當0＜a＜1時，函數y=log_ax與y=x-1的圖象如下圖所示：

不滿足要求：
當a＞1時，函數y=log_ax與y=x-1的圖象如下圖所示：

若要滿足條件，則函數y=log_ax與y=x-1切于（1，0）點，
即y′|_x=1=

logae

x

=log_ae=1，
解得：a=e，
綜上所述：a的取值集合為：{e}，
故答案為：{e}

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，其中將已知中f（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立，轉化為函數y=log_ax的圖象不會在y=x-1上方，是解答的關鍵．