Question

設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=

1

2

+log₂

x

1-x

的圖象上的任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，求f（x₁）+f（x₂）的值；
（2）設(shè)S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+…+f（

n-1

n+1

）+f（

n

n+1

），其中n∈N^*，求S_n；
（3）對(duì)于（2）中S_n，已知a_n=（

1

Sn+1

）²，其中n∈N^*，設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，求證：

4

9

≤T_n＜

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出f（x₁）+f（x₂）=1+log2

x1x2

(1-x1)(1-x2)

=1+log₂1=1．
（2）由S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+…+f（

n-1

n+1

）+f（

n

n+1

），利用倒序相加求和法得到2S_n=n，由此能求出Sn=

n

2

．
（3）由an=(

1

Sn+1

)2=(

1

n 2 +1

)2=(

2

n+2

)2，知Tn=

4

32

+

4

42

+

4

52

+…+

4

(n+2)2

＜

4

32-1

+

4

42-1

+

4

52-1

+…+

4

(n+2)21

=2（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

），由此能證明

4

9

≤T_n＜

5

3

．

解答： （1）解：∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=

1

2

+log₂

x

1-x

的圖象上的任意兩點(diǎn)．
∴?x₁，x₂∈（0，1），且x₁+x₂=1時(shí)，
f（x₁）+f（x₂）=

1

2

+log2

x1

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

=1+log2

x1x2

(1-x1)(1-x2)

=1+log2

x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1+log₂1=1．
（2）解：∵

1

1+n

+

n

1+n

=

2

1+n

+

n-1

1+n

=

3

1+n

+

n-2

1+n

=…=1，
∴f(

1

1+n

)+f(

n

1+n

)=f(

2

1+n

)+f(

n-1

1+n

)=f(

3

1+n

)+f(

n-2

1+n

)=…=1，
∵S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+…+f（

n-1

n+1

）+f（

n

n+1

），①
∴S_n=f（

n

n+1

）+f（

n-1

n+1

）+…+f（

2

n+1

）+f（

1

n+1

），②
①+②，得2Sn=[f(

n

1+n

)+f(

n

1+n

)]+[f(

2

1+n

)+f(

n-1

1+n

)]+…+[f(

n

1+n

)+f(

1

1+n

)]，
∴2S_n=n，∴Sn=

n

2

．
（3）證明：∵an=(

1

Sn+1

)2=(

1

n 2 +1

)2=(

2

n+2

)2，
∴Tn=

4

32

+

4

42

+

4

52

+…+

4

(n+2)2

，
∵a_n＞0，∴T_n＜T_n+1，∴{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴T_n≥T₁=a1=

4

9

，
又∵Tn=

4

32

+

4

42

+

4

52

+…+

4

(n+2)2

＜

4

32-1

+

4

42-1

+

4

52-1

+…+

4

(n+2)21

=

4

2×4

+

4

3×5

+

4

4×6

+…+

4

(n+1)(n+3)

=2（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

）
=2（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）
=2（

5

6

-

1

n+2

-

1

n+3

）＜

5

3

，
∴

4

9

≤T_n＜

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意倒序求和法的合理運(yùn)用．