Question

（2009•大連二模）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁且與x軸、y軸不平行的直線與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

①④

（把你認(rèn)為錯(cuò)誤的結(jié)論序號(hào)都寫(xiě)上）．
①|(zhì)AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a）；
②以AF₁為直徑的圓與橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相切；
③如果∠F₁AF₂的平分線與F₁F₂交于M點(diǎn)，則橢圓的離心率等于

|MF1|

|AF1|

；
④△ABF₂的面積最大值是a．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得直線AB繞F₁點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，|AB|最小值為

2b2

a

且最大值為2a，由此可得①是錯(cuò)誤的；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷，結(jié)合橢圓的定義和三角形中位線定理，可得以AF₁為直徑的圓與橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相切，故②正確；根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，結(jié)合比例的性質(zhì)和橢圓離心率公式，可得③正確；根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得△ABF₂的面積最大值不是a，得④錯(cuò)誤．由此可得本題的正確答案．

解答：解：對(duì)于①，將直線AB繞F₁點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得
當(dāng)AB與長(zhǎng)軸垂直時(shí)，|AB|取到最小值，設(shè)此時(shí)A（-c，n），
則

(-c)2

a2

+

n2

b2

=1，解之得n=

b2

a

（舍負(fù)）
因此，|AB|=2n=

2b2

a

，而當(dāng)AB與橢圓的長(zhǎng)軸重合時(shí)，|AB|最大值為2a，
由此可得|AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a]，故①是錯(cuò)誤的；
對(duì)于②，設(shè)AF₁的中點(diǎn)為N，則以AF₁為直徑的圓以N為圓心
根據(jù)橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，所以|AF₂|=2a-|AF₁|，
可得|ON|=

1

2

|AF₂|=a-|NF₁|，
而以長(zhǎng)軸為直徑的圓的圓心為O，說(shuō)明兩圓的圓心距恰好等于半徑之差，
因此以AF₁為直徑的圓與橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相切，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)锳M平分∠F₁AF₂，所以根據(jù)三角形的平分線定理，得

|AF1|

|MF1|

=

|AF2|

|MF2|

=

|AF1|+|AF2|

|MF1|+|MF2|

=

2a

2c

=

1

e

∴橢圓的離心率e=

|MF1|

|AF1|

，故③正確；
對(duì)于④，將直線AB繞F₁點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得
當(dāng)AB與長(zhǎng)軸垂直時(shí)，△ABF₂的面積達(dá)到最大值
因此，△ABF₂的面積最大值為S_max=

1

2

×

2b2

a

×2c=

2cb2

a

≠a
故△ABF₂的面積最大值不是a，得到④是錯(cuò)誤的．
綜上所述，只有①④是錯(cuò)誤的
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于橢圓的幾個(gè)命題，要我們找出其中的假命題，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓一圓的位置關(guān)系和三角形面積的最值等知識(shí)，屬于中檔題．