Question

一組數(shù)據(jù)4、7、10、6、9，n是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，設(shè)f（x）=（

1

x

-x²）ⁿ．
（1）求f（x）的展開式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）依題意有：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，即n=7，可得f（x）的展開式的通項(xiàng)T_r+1，令x的指數(shù)為-1，即可求f（x）的展開式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）f（x）的展開式中共8項(xiàng)，其中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，而第5項(xiàng)的系數(shù)等于第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，第4項(xiàng)的系數(shù)等于第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)，即可求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答： 解：（1）依題意有：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，即n=7，
故f（x）的展開式中T_r+1=

C

r 7

(x-1)7-r(-x2)r=

C

r 7

(-1)rx3r-7，
由3r-7=-1可知r=2，故展開式中x^-1的項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 7

(-1)2=21（6分）；
（2）f（x）的展開式中共8項(xiàng)，其中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
而第5項(xiàng)的系數(shù)等于第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，故第5項(xiàng)的系數(shù)最大，
即最大項(xiàng)為T5

=C

4 7

(x-1)3(-x2)4=35x⁵，第4項(xiàng)的系數(shù)等于第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)，
故第4項(xiàng)的系數(shù)最小，即最小項(xiàng)為T4

=C

3 7

(x-1)4(-x2)3=-35x²（12分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查展開式中的系數(shù)，確定展開式的通項(xiàng)是關(guān)鍵．