(2003•崇文區(qū)一模)某化肥廠從今年1月起,若不改善生產(chǎn)環(huán)境,按現(xiàn)狀生產(chǎn),每月收入為70萬元,同時還將受到環(huán)保部門的處罰,第1個月罰1萬元,以后逐月遞增2萬元.如果從今年1月起投資400萬元增加回收凈化設備(改造設備時間不計),一方面可以改善環(huán)境,免去環(huán)保部門的處罰,另一方面也可降低原料成本,據(jù)測算,投產(chǎn)后的前5個月中的累計收入y(萬元)是生產(chǎn)時間n(以月為單位)的二次函數(shù).生產(chǎn)前1、前2、前3個月的累計收入分別可達101萬元、204萬元和309萬元,以后每個月的收入穩(wěn)定在第5個月的水平.
(I)求投資改造設備后,累計收入y與生產(chǎn)時間n的函數(shù)表達式;
(II)至少經(jīng)過多少個月,投資改造設備后的純收入多于不改造設備時的純收入?
分析:(I)根據(jù)投產(chǎn)后的前5個月中的累計收入y(萬元)是生產(chǎn)時間n(以月為單位)的二次函數(shù)可利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,以后累計收入成等差數(shù)列,從而求出投資改造設備后,累計收入y與生產(chǎn)時間n的函數(shù)表達式;
(II)先比較改造設備后前5個月的純收入與不改造設備前5個月的純收入可知5個月內(nèi)投資不能見成效,然后根據(jù)投資改造設備后的純收入多于不改造設備時的純收入建立關系式,解之即可.
解答:本小題滿分(15分).
(I)解:設y=an2+bn+c(n≤5,n∈N).
101=a+b+c
204=4a+2b+c
309=9a+3b+c.
解此方程組,得a=1,b=100,c=0

∴y=n2+100n(n≤5,n∈N).…(4分)
當n>5,n∈N時,
y=525+(n-5)[525-416]=109n-20.…(7分)
即y=
n2+100n(n≤5,n∈N)
109n-20(n>5,n∈N).
…(8分)
(II)解:改造設備后前5個月的純收入:52+100×5-400=125,
不改造設備前5個月的純收入:70×5-[1+3+5+7+9]=325,
∵125<325,
∴5個月內(nèi)投資不能見成效,…(10分)
當n>5,n∈N時,
令109n-20-400>70n-[n+
n(n-1)
2
×2],即109n-420>70n-n2
,
化簡,得n2+39n-420>0,…(13分)
當5<n≤8時,n2+39n-420<0,
當n≥9時,n2+39n-420>0.
即至少經(jīng)過9個月,投資改造設備后的純收入才能多于不改造設備時的純收入.…(15分)
點評:本題主要考查的知識點是函數(shù)解析式的求法,以及函數(shù)模型的選擇與應用,同時考查了運算求解的能力,屬于中檔題.
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