Question

如圖，M是正方體的棱的中點，給出命題

①過M點有且只有一條直線與直線、都相交；

②過M點有且只有一條直線與直線、都垂直；

③過M點有且只有一個平面與直線、都相交；

④過M點有且只有一個平面與直線、都平行.

其中真命題是（    ）

A．②③④     B．①③④      C．①②④       D．①②③

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：直線AB與B₁C₁ 是兩條互相垂直的異面直線，點M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：

取C₁C的中點N，則MN∥AB，且 MN=AB，設(shè)BN 與B₁C₁交于H，則點 A、B、M、N、H 共面，

直線HM必與AB直線相交于某點O．

所以，過M點有且只有一條直線HO與直線AB、B₁C₁都相交；故①正確．

過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，此垂線就是棱DD₁，故②正確．

過M點有無數(shù)個平面與直線AB、B₁C₁都相交，故 ③不正確．

過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行，此平面就是過M點與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．

綜上，①②④正確，③不正確，