如圖，四邊形與均為菱形，設(shè)與相交于點，若，且.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）余弦值為.

試題分析：本題主要考查線面平行、面面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先根據(jù)菱形的定義得，，再根據(jù)線面平行的判定得，，再根據(jù)面面平行的判定得面面，從而證明；第二問，先根據(jù)已知條件得建立空間直角坐標(biāo)系的最基本的條件，即兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出夾角并判斷二面角為銳二面角，所以所求余弦值為正值.
試題解析：(1) 證明：因為四邊形與均為菱形，
所以，.
因為，，
所以，    2分
又，，，
所以
又，
所以               4分
(2) 連接、,因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，
因為為中點.所以，
又因為為中點,且，
所以
又，所以                    .6分
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)，因為四邊形為菱形，，
則，，，
所以       ..8分
所以設(shè)平面的一個法向量為，
則有,所以，令，則
因為，所以平面的一個法向量為   .10分
因為二面角為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為
則
所以二面角的余弦值為                  ..12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.

(1)證明：CB1⊥BA1；
(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱錐C1－ABA1的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．

（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

①當(dāng)0<CQ<時，S為四邊形；
②當(dāng)CQ＝時，S為等腰梯形；
③當(dāng)<CQ<1時，S為六邊形；
④當(dāng)CQ＝1時，S的面積為.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知半徑為5的球被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩個圓的公共弦長為4，若其中一圓的半徑為4，則另一圓的半徑為    .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成的角的大小為，則正四棱柱的側(cè)面積為          .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知是單位正方體表面上的一個動點，且。則的軌跡的總長度為     .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，平面四邊形中, ,,,將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點在同一球面上，則該球的體積為(    )
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

有一個長方體容器,裝的水恰好占其容積的一半；表示水平的桌面,容器一邊緊貼桌面，沿將其翻轉(zhuǎn)使之傾斜，最后水面(陰影部分)與其各側(cè)棱的交點分別是（如圖），設(shè)翻轉(zhuǎn)后容器中的水形成的幾何體是，翻轉(zhuǎn)過程中水和容器接觸面積為,則下列說法正確的是（  ）
A．是棱柱，逐漸增大
B．是棱柱，始終不變
C．是棱臺，逐漸增大
D．是棱臺，始終不變

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案