Question

如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作．第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為a_n

(1)求a₁，a₂；

(2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和S_n；

(3)浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經(jīng)過多少次操作？

Answer 1

答案：
解析：

(1)；…………4分 　　(2)設(shè)第n次操作挖去bn個(gè)三角形，則{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，所以所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字的和 　　 　　則，兩式相減，得： 　　，故 　　(3)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1357/0021/7f2a15fc60b70363db41e4849548df44/C/Image74.gif" width=30 height=24>是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以…………8分 　　由，得 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1357/0021/7f2a15fc60b70363db41e4849548df44/C/Image80.gif" width=249 height=24>所以當(dāng)時(shí)， 　　所以至少經(jīng)過5次操作，可以使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的…………12分