如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作。第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和；

（3）浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少次操作？  

解析：（1）；   …………4分

（2）設(shè)第n次操作挖去個(gè)三角形，則是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，所以所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字的和

則，兩式相減，得：

，故

（3）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527143350010.gif' width=31>是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以…………8分

由，得

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527143350015.gif' width=249>所以當(dāng)時(shí)，

所以至少經(jīng)過(guò)5次操作，可以使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的…………12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文）如圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為
3π
2
3π
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文）如圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為
3
2
π
3
2
π
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（理）某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望Eξ=
4
7
4
7
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（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：安徽省蚌埠市2009屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量模擬考試、數(shù)學(xué)(理) 題型：044

如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作．第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形(如圖①中陰影部分所示)，并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形(如圖②中陰影部分所示)，同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為an

(1)求a1，a2；

(2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和Sn；

(3)浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)多少次操作？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作。第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

 


 
 
（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和；

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