Question

已知函數(shù)f（x）在其定義域上滿足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函數(shù)y=f（x）的圖象是否是中學(xué)對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)指出其對(duì)稱中心（不證明）；
②當(dāng)f（x）時(shí)，求x的取值范圍；
③若f（0）=0，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，那么若0＜a_n+1≤f（a_n）正整數(shù)N滿足n＞N時(shí)，對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{a_n}，恒成立，求最小的N．

Answer 1

解：①∵xf（x）+2af（x）=x+a-1
∴（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a時(shí)，則a=-1，與a＞0矛盾
∴x≠-2a，∴f（x）==1-（x≠-2a）
∴f（x）是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為（-2a，1）
②∵f（x）∈[，]，
??
又a＞0，所以?2≤x≤3a+5
③∵f（0）=0，∴a=1，∴f（x）=
由0＜a_n+1≤f（a_n）?，即，令
∴b_n+1≤b_n，又a_n＞0，∴，又a₁=1，∴b₁=2
當(dāng)n≥2，
（或）
又∵b₁=1也符合，，∴（n∈N^*）
即，（n∈N^*）
要使a_n＜恒成立，只需即2ⁿ＞11．
∴n＞3．
所以N=3
分析：①化簡函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，通過反比例函數(shù)判斷函數(shù)的圖象是對(duì)稱圖形，直接指出其對(duì)稱中心；
②通過f（x），轉(zhuǎn)化分式不等式與不等式組的形式，然后求x的取值范圍；
③利用f（0）=0，推出a=1，求出函數(shù)的表達(dá)式，通過0＜a_n+1≤f（a_n）構(gòu)造，推出，結(jié)合恒成立，可求n的最小值，即可求最小的N．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的值域的應(yīng)用，不等式組的解法，數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．