已知函數(shù)f（x）在其定義域M內(nèi)為減函數(shù)，且f（x）＞0，證明g（x）=1+
2f(x)
在M內(nèi)為增函數(shù)．
分析：已知函數(shù)f（x）在其定義域M內(nèi)為減函數(shù)，可知對(duì)任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2），則可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，進(jìn)而判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性．
解答：解：已知函數(shù)f（x）在其定義域M內(nèi)為減函數(shù)，
可知對(duì)任意的x1＜x2，
有f（x1）＞f（x2），（5分0
又f（x）＞0，
則可知
1
f(x1)
＜
1
f(x2)
，（7分）
則對(duì)任意的x1＜x2，
有 g(x1) -g(x2)=
2
f(x1)
-
2
f(x2)
＜0，（10分）
故g（x）=1+
2
f(x)
在M內(nèi)為增函數(shù)．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在其定義域上滿足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函數(shù)y=f（x）的圖象是否是中學(xué)對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)指出其對(duì)稱中心（不證明）；
②當(dāng)f（x）∈[
1
2
，
4
5
]時(shí)，求x的取值范圍；
③若f（0）=0，數(shù)列{an}滿足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整數(shù)N滿足n＞N時(shí)，對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象是否是中心對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)指出其對(duì)稱中心（不證明）；
（2）當(dāng)f(x)∈[
1
2
，
4
5
]時(shí)，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數(shù)列{an}滿足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整數(shù)N滿足n＞N時(shí)，對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an}，an＜
1
10
恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求證：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
3
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）在其定義域M內(nèi)為減函數(shù)，且f（x）＞0，證明g（x）=1+數(shù)學(xué)公式在M內(nèi)為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年四川省南充一中高三（下）6月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）在其定義域上滿足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象是否是中心對(duì)稱圖形？若是，請(qǐng)指出其對(duì)稱中心（不證明）；
（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；
（3）若f（0）=0，數(shù)列{an}滿足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整數(shù)N滿足n＞N時(shí)，對(duì)所有適合上述條件的數(shù)列{an}，恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求證：．

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