Question

若兩圓x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，其中a，b∈R，ab≠0，則

4

a2

+

1

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專(zhuān)題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得a²+4b²=9，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得

4

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由題意可得兩圓相外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，故有

a2+4b2

=3，∴a²+4b²=9，
∴

4

a2

+

1

b2

=

1

9

（a²+4b²）（

4

a2

+

1

b2

）=

1

9

（8+

16b2

a2

+

a2

b2

）≥

1

9

（8+8）=

16

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)

16b2

a2

=

a2

b2

時(shí)，等號(hào)成立，
∴

4

a2

+

1

b2

的最小值為

16

9

．
故答案為：

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到a²+4b²=9是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．