如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：無論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點(diǎn)．
（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），又A、B坐標(biāo)分別是（0，a）、（0，-a）
而D是PB的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（
x0
2
，
y0-a
2
），
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得：
(y0-a)2
a2
+
x20
b2
=4 ①
又
y20
a2
-
x20
b2
=1 ②
由①②解得，y0=2a（y0=-a舍去）x0=
3
b，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
b，2a)
故kPA=
y0-a
x0
=
a
3
b
，直線PA的方程是y=
a
3
b
x+a與
y2
a2
+
x2
b2
=1聯(lián)立，解得
C點(diǎn)坐標(biāo)為(-
3
b
2
，
a
2
)，又D點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
2
b，
a
2
)
∴C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故無論a、b如何變化，都有CD∥x軸，直線CD的斜率恒為常常0．
（2）當(dāng)CD過橢圓焦點(diǎn)(0，
a2-b2
)時(shí)，
則
a2-b2
=
a
2
，∴b=
3
4
a2，
雙曲線中，c=
a2+b2
=
7
2
a，
∴雙曲線的離心率e=
c
a
=
7
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值；
（2）求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-
x2
2
與過點(diǎn)M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程；
（2）求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=4，一條漸近線的傾斜角為60°．
（I）求雙曲線C的方程和離心率；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為16，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x且過點(diǎn)M（1，
2
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切
C．相離D．與p的取值相關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
2
+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且F是橢圓C1的右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn)，且△APF的面積為
1
2
+
2
4
，求證：AP⊥OP；
（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知定點(diǎn)A（2，2），M在拋物線x2=4y上，M在拋物線準(zhǔn)線上的射影是P點(diǎn)，則MP-MA的最大值為（　�。�
A．1B．
5
C．
7
D．5-2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l與橢圓C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=
6
2
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案