Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₄=28，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求出a₁，a₂，a₃，歸納猜測(cè)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明得答案．

解答： 解：由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₄=28，
得：

28+a3-1

28-a3+1

=3，解得a₃=15．
再代入

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），
得：

15+a2-1

15-a2+1

=2，解得a₂=6．
同理求得a₁=1，
∴a1=1=2×12-1，
a2=6=2×22-2，
a3=15=2×32-3，
a4=28=2×42-4，
由上猜測(cè)an=2n2-n．
下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=2×12-1成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=2k2-k，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得：
a_k+1+a_k-1=ka_k+1-ka_k+k，
即ak+1=

k+1

k-1

•ak-

k+1

k-1

=

k+1

k-1

•(2k2-k)-

k+1

k-1

=2（k+1）²-（k+1）．
綜①②所述，an=2n2-n．
故答案為：2n²-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用歸納、猜測(cè)、然后利用數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，是中檔題．