Question

 已知點F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)已知圓M過定點D(0,2)，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)|DA|＝l₁，|DB|＝l₂，求＋的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)設(shè)P(x，y)，則Q(x，－1)，

∵·＝·，

∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．

即2(y＋1)＝x (y－1)，即x²＝4y，

所以動點P的軌跡C的方程為x²＝4y.……………………………………………4分

(2)設(shè)圓M的圓心坐標為(a，b)，則a²＝4b.                          ①

圓M的半徑為|MD|＝.

圓M的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝a²＋(b－2)².

令y＝0，則(x－a)²＋b²＝a²＋(b－2)²，

整理得，xax＋4b－4＝0.                                      ②

由①、②解得x＝a±2.

不妨設(shè)A(a－2,0)，B(a＋2,0)，

∴l₁＝，l₂＝.

∴＋＝＝

＝2＝2，                                ③

當a≠0時，由③得，＋＝2≤2＝2.

當且僅當a＝±2時，等號成立．

當a＝0時，由③得，＋＝2.

故當a＝±2時，＋的最大值為2.………………………………………10分