Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）欲求在點(diǎn)x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率；
（2）先求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)h′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，h′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，從而問(wèn)題解決．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx（a∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=1，
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0；
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，
∴h′（x）=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
a=1時(shí)，h′（x）=$\frac{（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞2，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及分類討論思想．屬于中檔題．