已知是等差數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.令,的前項(xiàng)和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.

(1) ，；(2)見解析.

解析試題分析：(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，
即證：.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題，故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.
很明顯時(shí)，，因此用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.
試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/c/pnaco.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
則
則
解得，所以                    4分
所以，
所以                              6分
(2)由(1)知，
要證，
只需證
即證：                             8分
當(dāng)時(shí)，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，
（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左右，不等式成立
（2）假設(shè)，
則時(shí)，
時(shí)不等式成立
根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)時(shí)，
綜上可知：對(duì)于成立
所以                      12分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，數(shù)學(xué)歸納法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．
（1）求證：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列；
（2）求的前n項(xiàng)和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求證：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(1)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若數(shù)列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+S2=12,q=.
(1)求an與bn.
(2)證明:≤++…+<.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d=-1,前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若S5=-5,求a1的值.
(2)若Sn≤an對(duì)任意正整數(shù)n均成立,求a1的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列（常數(shù)），其前項(xiàng)和為 （）
（1）求數(shù)列的首項(xiàng)，并判斷是否為等差數(shù)列，若是求其通項(xiàng)公式，不是，說明理由；
（2）令的前n項(xiàng)和，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）請(qǐng)寫出數(shù)列的前項(xiàng)和公式，并推導(dǎo)其公式；
（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的和.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案