設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求證：0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性并證明之；
（4）若f（
1
2
）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．
（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
證明如下：設(shè)x1＞x2＞0，則
x1
x2
＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x1）=f（x2•
x1
x2
）=f（x2）+f（
x1
x2
），
則f（
x1
x2
）=f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)；
∴0＜x＜1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（
1
2
）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化為：f[x（2-x）]＜f（
1
2
），
∵f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，
∴
x＞0
2-x＞0
x(2-x)＞
1
2
，解得0＜x＜1+
2
2
，
故所求的解集為：（0，1+
2
2
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
12
對(duì)稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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