Question

設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集為（ ）
A．{x|-1＜x＜0，或＞1}
B．{x|x＜-1，或0＜x＜1}
C．{x|x＜-1，或x＞1}
D．{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及解不等式的綜合類問題．在解答時，首先要結(jié)合奇偶性和單調(diào)性對不等式進行轉(zhuǎn)化變形，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式：2xf（x）＜0，
然后再分類討論即可獲得問題的解答．
解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴它在（-∞，0）上也是增函數(shù)．∵f（-x）=-f（x），
∴f（-1）=f（1）=0．
不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化為2xf（x）＜0，
即xf（x）＜0，
∴當x＜0時，
可得f（x）＞0=f（-1），∴x＞-1，
∴-1＜x＜0；
當x＞0時，可得f（x）＜0=f（1），
∴x＜1，∴0＜x＜1．
綜上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集為{x|-1＜x0，或0＜x＜1}．
故選D．
點評：本題考查的是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及解不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的知識．值得同學們體會和反思．