Question

已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（Ⅰ）求∠C的大�。�
（Ⅱ）若|

CA

-

1

2

CB

|=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用二倍角公式化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可得到C；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的平方即為模的平方，和向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合重要不等式，求得ab的最大值為8，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

，
即有4cosC+2cos²C-1=2cosC（1+cosC），
則有cosC=

1

2

，
由C為三角形的內(nèi)角，則C=

π

3

；
（Ⅱ）|

CA

-

1

2

CB

|=2，即有（

CA

-

1

2

CB

）²=4，
即

CA

2-

CA

•

CB

+

1

4

CB

2=4，
即有b²+

1

4

a²-

1

2

ba=4，
由于b²+

1

4

a²≥2b•

1

2

a=ab，
則有4+

1

2

ab≥ab，即ab≤8．
當(dāng)且僅當(dāng)b=

1

2

a時(shí)，取得等號．
則△ABC的面積S=

1

2

absinC≤

1

2

×8×

3

2

=2

3

．
則三角形ABC的面積的最大值為2

3

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的化簡和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．