Question

已知函數(shù)，，且在點(diǎn)（1，）處的切線方程為。
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)，則，無(wú)解，即無(wú)單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3） 

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處曲線切線的斜率，聯(lián)立方程組求解； (2)求導(dǎo)，利用倒數(shù)分析單調(diào)性，注意一元二次不等式根的情形；（3）通過(guò)導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性分析，結(jié)合圖像分析零點(diǎn)的問(wèn)題
試題解析：（1），由條件，得
，即，                      4分
（2）由，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824022809514528.png" style="vertical-align:middle;" />，
，
令，得（*）                                6分
①若，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；         7分   
②若，（*）式等價(jià)于，
當(dāng)，則，無(wú)解，即無(wú)單調(diào)增區(qū)間，
當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為                  10分
（3）
當(dāng)時(shí)，，，
令，得，且當(dāng)，
在上有極小值，即最小值為                      11分
當(dāng)時(shí)，，，
令，得，
①若，方程不可能有四個(gè)解；                12分
②若時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，
在上有極小值，即最小值為，
又，的圖象如圖1所示，

從圖象可以看出方程不可能有四個(gè)解          14分
③若時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，
在上有極大值，即最大值為，
又，的圖象如圖2所示，

從圖象可以看出方程若有四個(gè)解，
必須， 
綜上所述，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是                      16分