Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設(shè)點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影．
（1）求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題作點E、G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影E₁、G₁，則E₁、G₁分別為CC₁、DD₁的中點，四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影為底面邊界即為四邊形DE₁FG₁，面積為，由題意可證EE₁為該棱錐的高，代入體積公式可求；
（2）以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁所在直線分別作x軸，y軸，z軸；要證直線FG₁⊥平面FEE_1?FG₁⊥FE，F(xiàn)G₁⊥FE_1?，利用空間向量的數(shù)量積可證；
（3）異面直線E₁G₁與EA所成角?所成的角，利用公式可求；
解答：解：（1）依題作點E、G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影E₁、G₁，
則E₁、G₁分別為CC₁、DD₁的中點，
連接EE₁、EG₁、ED、DE₁，
則所求為四棱錐E-DE₁FG₁的體積，
其底面DE₁FG₁面積為=，（3分）
又EE₁⊥面DE₁FG₁，EE₁=1，
∴．（6分）
（2）以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD₁所在直線分別作x軸，y軸，z軸，
得E₁（0，2，1）、G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F(xiàn)（0，1，2），E（1，2，1），
則，，，
∴，，
即FG₁⊥FE，F(xiàn)G₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴FG₁⊥平面FEE₁．（10分）
（3），，
則，
設(shè)異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，則．（14分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，利用空間向量的方法把求異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為向量所成的角，錐體的體積的求解，關(guān)鍵是確定該棱錐的高及底面．