Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，）；以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線(xiàn)l，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，使（+）•=0？
若存在．求出直線(xiàn)l斜率的取值范圍；
（3）對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線(xiàn)l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使（+）•=0，試求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）及橢圓過(guò)C（-1，可得到橢圓方程．
（2）由，知，設(shè)直線(xiàn)方程y=kx+m，（k≠0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)Q（x，y）．由題知可得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，，由△＞0可得4k²+3＞m²，由可得4k²＜-2矛盾．所以符合條件的直線(xiàn)不存在．
（3）由，可推出，要使k存在解得n的取值范圍是．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，由焦點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）及橢圓過(guò)C（-1，可得，
，
解得，即橢圓方程是．
（2）∵，
∴，
由題知直線(xiàn)的斜率存在．可設(shè)直線(xiàn)方程為
y=kx+m，（k≠0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)Q（x，y）．
由題知，
得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，
得，
由△＞0，得4k²+3＞m²，
由，得，
即m=-3-4k²，又由4k²+3＞m²，可得4k²＜-2矛盾．
所以符合條件的直線(xiàn)不存在．
（3）由（2）知，
推出，
要使k存在只需，
解得n的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和判斷直線(xiàn)方程是否存在，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．