Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2sinAcosB=sin（B+C）．
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)

m

=（sinA，1-2sin²A），

n

=（4k，1）（k∈R），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用A+B+C=π，得出sin（B+C）=sinA，可求cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（2）

m

•

n

=1-2sin²A+4ksinA=-2（sinA-k）²+2k²+1，注意到A∈(0，

2π

3

)，sinA∈（0，1]，對k分類討論求解．

解答： 解：（1）∵2sinAcosB=sin（B+C）∴2sinAcosB=sinA，而sinA＞0，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）

m

•

n

=1-2sin²A+4ksinA=-2（sinA-k）²+2k²+1，
∵B=

π

3

．∴A∈(0，

2π

3

)，sinA∈（0，1]．
①當(dāng)k≥1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1時(shí)，（

m

•

n

）_min=4k-1=5，k=

3

2

②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)sinA=k時(shí)，（

m

•

n

）_min=2k²+1=5，k=±

2

，均不合要求．
③當(dāng)k＜0時(shí)，無最大值．
綜上所述，k=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，三角函數(shù)知識的靈活運(yùn)用，分類討論的思想方法．