【題目】如圖,四棱錐的底面是菱形,平面底面,,分別是,的中點,,,.
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)連接,由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,再由平面平面可得,得平面,可得證;
(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面的一個法向量,向量,根據(jù)線面角的空間向量坐標公式可求得直線與平面所成角的正弦值.
(1)連接,由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,
∵,∴,
∵平面平面,平面平面,平面,
∴底面,底面,故,
且,故平面,
平面,∴.
(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,
以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,
設平面的一個法向量為,則:,
據(jù)此可得平面的一個法向量為,
而,設直線與平面所成角為,則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,過點作平面的垂線,垂足為點,有下面三個結(jié)論:①點是的中心;②垂直于平面;③直線與直線所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號是_______.
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【題目】如圖所示,設,是某拋物線上相異兩點,將拋物線在,之間的弧線與線段圍成的區(qū)域記為;弧線上取一點,使拋物線在點處的切線與線段平行,則三角形內(nèi)部記為區(qū)域.古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家、物理學家阿基米德在公元前3世紀,巧妙地證明了與兩區(qū)域的面積之比為常數(shù),并求出了該常數(shù)的值.以拋物線上兩點,之間的弧線為特例,探求該常數(shù)的值,并計算:向區(qū)域內(nèi)任意投擲一點,則該點落在內(nèi)的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量,質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好,記其質(zhì)量指標值為,當時,產(chǎn)品為一級品;當時,產(chǎn)品為二級品;當時,產(chǎn)品為三級品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做實驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值,得到下面試驗結(jié)果:
配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 | ||||
頻數(shù) | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的頻數(shù)分布表
指標值分組 | |||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 30 | 40 |
(1)從配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中按等級分層抽樣抽取5件產(chǎn)品,再從這5件產(chǎn)品中任取3件,求恰好取到1件二級品的頻率;
(2)若這種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標滿足如下條件:,其中,請分別計算兩種配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤率,如果從長期來看,你認為投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大?
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【題目】設圓的圓心為,直線過點且與軸不重合,直線交圓于,兩點,過點作的平行線交于點.
(1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程;
(2)設點的軌跡為曲線,直線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與圓交于,兩點,求四邊形面積的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)有極值,且導函數(shù)的極值點是的零點,給出命題:①;②若,則存在,使得;③若有兩個極值點,,則;④若,且是曲線,的一條切線,則的取值范圍是;則以上命題正確序號是______.
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設,由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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