如圖1，ABCD為直角梯形，，M是AB的中點(diǎn)，AC與MD交于O點(diǎn)，把△AMD沿著MD折起，使得二面角A-MD-C為直二面角形成圖2．
（Ⅰ）求證：平面MDA⊥平面OAC；
（Ⅱ）求直線AD與平面AMC所成角的余弦值．
【答案】分析：（I）欲證平面AOC⊥平面MDA，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MDA內(nèi)一直線與平面AOC垂直，而根據(jù)題意可得MD⊥平面AOC；
（Ⅱ）建系以O(shè)C為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMC的法向量，以及直線AD所在向量，然后根據(jù)兩向量的夾角公式求出所成角的正弦的，即可求出直線AD與平面AMC所成角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）∵AB=AD，AM=BC，∠BAC=∠MAD，∴△AMD≌△ABC，∴∠BAC=∠ADM，
又∵∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ADM+∠CAD=90°，∴AC⊥MD，∴AO⊥MD，OC⊥MD，
∴MD⊥平面AOC，∴平面AOC⊥平面MDA．
（Ⅱ）如圖建系，

則C（3，0，0），A（0，0，2），D（0，4，0），M（0，-1，0），
∴，設(shè)⊥平面AMC，=（x，y，z），
則，∴，
∵，∴sinθ=，，則．
∴直線AD與平面AMC所成角的余弦值為．
點(diǎn)評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面所成角的計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠DAB=
π
2
，AB=AD=2BC=2
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，M是AB的中點(diǎn)，AC與MD交于O點(diǎn)，把△AMD沿著MD折起，使得二面角A-MD-C為直二面角形成圖2．精英家教網(wǎng)
（Ⅰ）求證：平面MDA⊥平面OAC；
（Ⅱ）求直線AD與平面AMC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD=4，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并連接AC，AD得到四棱錐A-BCDE，如圖2．
（1）求四棱錐A-BCDE的體積；
（2）若M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ABE．

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如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD邊的中點(diǎn)，以AE為棱，將△DAE向上折起，將D變到D′的位置，使面D′AE與面ABCE成直二面角（圖2）．
（1）求直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求證：AD′⊥BE；
（4）求異面直線AD′與BC所成的角．

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