如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�
分析：（1）以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出
AD1
，
DC
的坐標，利用向量的夾角公式，即可求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）分別求出平面D1BC的法向量、平面D1BA的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角A-DD1-C的平面角正弦值大小．
解答：解：（1）以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，則H即為D1在平面ABC上的射影．
∵AB=4，AD=3，∴AC=5，DH=
12
5
，HN=
27
25
，HM=
64
25
，D1(
27
25
，
64
25
，
12
5
)，…（6分）
∴
AD1
=(
27
25
，
64
25
，
12
5
)-(0，4，0)=(
27
25
，
-36
25
，
12
5
)，
DC
=(3，0，0)-(3，4，0)=(0，-4，0)，
所以cos＜
AD1
，
DC
＞=
AD1
•
DC
|
AD1
||
DC
|
=
12
25
．      …（10分）
（2）設(shè)平面D1BC的法向量為
n
=(a，b，c)，
BC
=(3，0，0)，
BA
=(0，4，0)，
∵
n
•
BC
=0，
n
•
D1B
=0，∴
a=0
27a+64b+60c=0
∴
n
=(0，-15，16)．
設(shè)平面D1BA的法向量為
m
=(x，y，z)，
∵
m
•
BA
=0，
m
•
D1B
=0，
∴
y=0
27x+64y+60z=0
，∴
m
=(-20，0，-9)．…（14分）
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=-
144
481
，
∴sinθ=
1-(
144
481
)2
=
25
337
481
．…（16分）
點評：本題考查空間角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，確定向量的坐標是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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2
2
x，y=x
1
2
，y=(
2
2
)x的圖象上，且矩形的邊分別平行于兩坐標軸，若點A的縱坐標為2，則點D的坐標為
（
1
2
，
1
4
）
（
1
2
，
1
4
）
．

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7
5
7
5
．

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