Question

在如圖所示的幾何體中，平面，∥， 是的中點(diǎn)，，．
（1）證明：∥平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行，取中點(diǎn)，連接，則，且，由已知得，且，故，則四邊形是平行四邊形，可證明，進(jìn)而證明∥平面，或可通過建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夾角的余弦值，再觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，來決定二面角的大小的余弦值的正負(fù)，從而求解．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051238232697.png" style="vertical-align:middle;" />，∥，所以平面．
故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，
， ． 
所以，
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051238294462.png" style="vertical-align:middle;" />的一個(gè)法向量為，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051238497457.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面．   6分
（2）由（1）知，，，．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得
，取，得，則
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得
，取，則，則
設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的大小的余弦值為．