Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，且滿足f（x）≠0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求證：對(duì)x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）設(shè)集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：令m=n=0得f（0）=f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

＞1
∴x＜0時(shí)f（x）＞1
∴對(duì)x∈R，都有f（x）＞0
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞1
則

f(x1)

f(x2)

=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1
又∵f（x₁）＞0，f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數(shù)
（3）A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}

={(x，y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)} ={(x，y)|-x2+6x-1+y=0} ={(x，y)|y=x2-6x+1}

∵A∩B=∅
∴方程x²-6x+1-a=0無實(shí)數(shù)根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8