Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）定義在R上的奇函數(shù)f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結(jié)合奇偶性和單調(diào)性求解．
（2）證明單調(diào)性可用定義或?qū)��?shù)解決．
解答：（1）解當(dāng)x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=
由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=
（2）證明當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴＞0，-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
點評：本題考查奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合性較強．