Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接EM，EA，證明四邊形ABME為平行四邊形，可得BM∥AE，利用線面平行的判定，可證BM∥平面PAD；
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用，，即可確定N的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為θ，則，，利用向量的夾角公式，可求直線PC與平面PBD所成角的正弦值•
解答：（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EM，EA，則EM∥AB，且EM=AB
所以四邊形ABME為平行四邊形，所以BM∥AE
又AE?平面PAD，BM不在平面PAD內(nèi)，∴BM∥平面PAD；
（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，則在平面PAD內(nèi)，設(shè)N（0，y，z）
∴，， 
由，，可得，∴
∴N（0，，），∴N是AE的中點(diǎn)，此時(shí)MN⊥平面PBD；
（3）解：設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為θ，則，，
設(shè)為α，則cos===-
∴sinθ=-cosα=
故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為•
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確確定向量坐標(biāo)是關(guān)鍵．