Question

已知正數數列的前項和為，且（），

數列滿足

（1）分別求和

（2）設，數列的前項和為，當時，求證：

（3）是否存在正整數，使得時，恒成立？若存在，求出相應的值，若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）當時，由已知得：，

當時， 

                     

兩式相減得： 

   

所以

從而

即                                     ……………… 5分

（2）由（1）知

所以

因 

所以 

所以，由錯位相減法得：

  

           

當時，

當時，

當時，

即當時， 

所以當時，

即                                   ……………… 11分

（3）假設存在正整數，使得時，恒成立，即恒成立

  當時，解得，即當時，只要，恒有恒成立

  但當時，解得，此時，不存在滿足條件的

綜上，故滿足條件的不存在                    ……………… 14分